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Kofaktormatrix und Adjunkte
Einleitung
Um die Bestimmung der Kofaktormatrix und der Adjunkten besser zu erklären wird hier zunächst auf die Unterdeterminanten einer Matrix eingegangen. Aus diesen werden die Matrizen dann gebildet.
Unterdeterminante
Die Unterdeterminante \( M_{ij} \) einer Matrix \( A \) ist die Determinante von der Matrix, die entsteht, wenn man die \( i \)-te Zeile und die \( j \)-te Spalte von \( A \) entfernt.
\( 2x2 \)-Matrix
Eine \( 2x2 \)-Matrix hat 4 Unterdeterminanten.
$$ A = \begin{bmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{bmatrix} $$ $$ M_{11} = \begin{vmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} d \end{vmatrix} \qquad M_{12} = \begin{vmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} c \end{vmatrix} \qquad M_{21} = \begin{vmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b \end{vmatrix} \qquad M_{22} = \begin{vmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a \end{vmatrix} $$\( 3x3 \)-Matrix
Eine \( 3x3 \)-Matrix hat 9 Unterdeterminanten.
$$ A = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{bmatrix} $$ $$ M_{11} = \begin{vmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} \enspace\enspace M_{12} = \begin{vmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} \enspace\enspace M_{13} = \begin{vmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \enspace\enspace \dots $$Kofaktormatrix
Die Kofaktormatrix \( \rm Cof(A) \) einer Matrix \( A \) enthält alle Unterdeterminanten von \( A \). Dabei wird allen Elementen, deren Summe aus Zeilennummer \( i \) und Spaltennummer \( j \) ungerade ist, ein negatives Vorzeichen hinzugefügt.
\( 2x2 \)-Matrix
Die Kofaktormatrix einer \( 2x2 \)-Matrix:
$$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$$$ \mathrm{Cof}(A) = \begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix} $$
\( 3x3 \)-Matrix
Die Kofaktormatrix einer \( 3x3 \)-Matrix:
$$ A = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{bmatrix} $$$$ \begin{align} \mathrm{Cof}(A) & = \begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} & M_{13} \\ M_{21} & M_{22} & M_{23} \\ M_{31} & M_{32} & M_{33} \end{bmatrix} \\[12pt] & = \begin{bmatrix} \quad\det\begin{bmatrix}e & f\\ h & i\end{bmatrix} & - \det\begin{bmatrix}d & f\\ g & i\end{bmatrix} & \quad\det\begin{bmatrix}d & e\\ g & h\end{bmatrix} \\ - \det\begin{bmatrix}b & c\\ h & i\end{bmatrix} & \quad\det\begin{bmatrix}a & c\\ g & i\end{bmatrix} & - \det\begin{bmatrix}a & b\\ g & h\end{bmatrix} \\ \quad\det\begin{bmatrix}b & c\\ e & f\end{bmatrix} & - \det\begin{bmatrix}a & c\\ d & f\end{bmatrix} & \quad\det\begin{bmatrix}a & b\\ d & e\end{bmatrix} \end{bmatrix}\\[12pt] & = \begin{bmatrix} ei - fh & fg - di & dh - eg \\ ch - bi & ai - cg & bg - ah \\ bf - ce & cd - af & ae - bd \end{bmatrix} \end{align} $$
Adjunkte
Als Adjunkte \( \rm adj(A) \) (auch komplementäre Matrix) wird die Transponierte der Kofaktormatrix von \( A \) bezeichnet.
\( 2x2 \)-Matrix
Die Adjunkte einer \( 2x2 \)-Matrix:
$$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$$$ \mathrm{adj}(A) = \mathrm{Cof}(A)^T = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} $$
\( 3x3 \)-Matrix
Die Adjunkte einer \( 3x3 \)-Matrix:
$$ A = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{bmatrix} $$$$ \begin{align} \mathrm{adj}(A) = \mathrm{Cof}(A)^T = \begin{bmatrix} ei - fh & fg - di & dh - eg \\ ch - bi & ai - cg & bg - ah \\ bf - ce & cd - af & ae - bd \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} ei - fh & ch - bi & bf - ce \\ fg - di & ai - cg & cd - af \\ dh - eg & bg - ah & ae - bd \end{bmatrix} \end{align} $$
Quellen
- Wikipedia: Artikel über "Adjunkte"