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Quadratische Funktion
Einleitung
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion 2.Grades mit der folgenden Form:
$$ f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c $$ \( a, b, c \) = Koeffizienten
Wie sich die Koeffizienten auf den Graphen der Funktion auswirken wird weiter unten beschrieben.
Funktionsgraph
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.
- ?
\( a = \) 1 \( b = \) 0 \( c = \) -1
Koeffizient \( a \) - Öffnung der Parabel, Streckung / Stauchung
Die Öffnung der Parabel hängt von dem Vorzeichen von \( a \) ab:
\( \qquad a \gt 0 \qquad \) der Graph ist nach oben geöffnet.
\( \qquad a \lt 0 \qquad \) der Graph ist nach unten geöffnet.
Der Absolutwert von \( a \) gibt die Streckung bzw. Stauchung des Graphens an:
\( \qquad |a| \gt 1 \qquad \) der Graph ist gestreckt, d. h. er ist schmaler und steiler.
\( \qquad |a| \lt 1 \qquad \) der Graph ist gestaucht, d. h. er ist breiter und flacher.
Koeffizient \( c \) - Verschiebung in Y-Richtung
Der Koeffizient \( c \) bestimmt die Verschiebung der Funktion in Y-Richtung. Bei positivem \( c \) wird die Funktion nach oben verschoben, bei negativem \( c \) nach unten.
Scheitelpunkt
Die Koordinaten des Scheitelpunkts lassen sich direkt aus der Scheitelpunktform ablesen:
$$ f(x) = a \cdot \left( x-x_s \right)^2 + y_s $$ $$ S \left( x_s | \, y_s \right) $$Nullstellen
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion erhält man durch Nullsetzen der Funktionsgleichung. Dadurch erhält man eine quadratische Gleichung, die mit Hilfe der p-q-Formel oder der Mitternachtsformel gelöst werden kann.
\begin{aligned} f(x) &= 0 \\[4pt] a \cdot x^2 + b \cdot x + c &= 0 \end{aligned}Extrempunkt- bzw. Scheitelpunktbestimmung
Um die Extrempunkte einer quadratischen Funktion zu bestimmen, benötigt man die erste und zweite Ableitung. Dann kann man folgendermaßen vorgehen.
Besondere Eigenschaften
Symmetrie
Eine quadratische Funktion ist achsensymmetrisch zu einer Parallelen zur Y-Achse durch ihren Scheitelpunkt.
Monotonie
Die Monotonie einer quadratischen Funktion hängt von dem Koeffizienten \( a \) und dem X-Wert des Scheitelpunkts ab.
Bei positivem \( a \) ist die Funktion zunächst monoton fallend und ab dem Scheitelpunkt monoton steigend.
Quellen
- Wikipedia: Artikel über "Quadratische Funktion"