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Produktregel

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Einleitung

Die Produktregel ist eine Ableitungsregel, die verwendet wird, wenn eine Funktion \( f \) aus einem Produkt von Funktionen besteht. Dann gilt:

$$ f(x) = u(x) \cdot v(x) $$ $$ f\,'(x) = u\,'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v\,'(x) $$

Beispiele

Beispiel 1

$$ f(x) = x \cdot sin(x) $$
\begin{array}{rclcrcl} u(x) &=& x & & v(x) &=& sin(x) \\[4pt] u\,'(x) &=& 1 & & v\,'(x) &=& cos(x) \\[20pt] \end{array}
\begin{aligned} f\,'(x) &= u\,'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v\,'(x) \\[4pt] &= 1 \cdot sin(x) + x \cdot cos(x) \\[4pt] &= sin(x) + x \cdot cos(x) \end{aligned}

Beispiel 3

$$ f(x) = x^3 \cdot x^2 $$
\begin{array}{rclcrcl} u(x) &=& x^3 & & v(x) &=& x^2 \\[4pt] u\,'(x) &=& 3 \,\, x^2 & & v\,'(x) &=& 2 \,\, x \\[20pt] \end{array}
\begin{aligned} f\,'(x) &= u\,'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v\,'(x) \\[4pt] &= 3 \,\, x^2 \cdot x^2 + x^3 \cdot 2 \,\, x \\[4pt] &= 3 \,\, x^4 + 2 \,\, x^4 \\[4pt] &= 5 \,\, x^4 \end{aligned}

Beispiel 2

$$ f(x) = sin(x) \cdot cos(x) $$
\begin{array}{rclcrcl} u(x) &=& sin(x) & & v(x) &=& cos(x) \\[4pt] u\,'(x) &=& cos(x) & & v\,'(x) &=& -sin(x) \\[20pt] \end{array}
\begin{aligned} f\,'(x) &= u\,'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v\,'(x) \\[4pt] &= cos(x) \cdot cos(x) + sin(x) \cdot -sin(x) \\[4pt] &= cos(x)^2 - sin(x)^2 \end{aligned}

Beispiel 4

$$ f(x) = \dfrac{1}{x} \cdot x^4 = x^{-1} \cdot x^4 $$
\begin{array}{rclcrcl} u(x) &=& x^{-1} & & v(x) &=& x^4 \\[4pt] u\,'(x) &=& -x^{-2} & & v\,'(x) &=& 4 \,\, x^3 \\[20pt] \end{array}
\begin{aligned} f\,'(x) &= u\,'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v\,'(x) \\[4pt] &= -x^{-2} \cdot x^4 + x^{-1} \cdot 4 \,\, x^3 \\[4pt] &= -x^2 + 4 \,\, x^2 \\[4pt] &= 3 \,\, x^2 \end{aligned}

Herleitung

Die Funktion \( f \) besteht aus dem Produkt der Funktionen \( u \) und \( v \).

$$ f(x) = u(x) \cdot v(x) $$

Die Ableitung wird jetzt mit Hilfe der H-Methode durchgeführt.

\begin{aligned} f\,'(x) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{ f(x+h) - f(x) }{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{ u(x+h) \cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x) }{h} + \overset{ 0 }{\overbrace{ \dfrac{ u(x) \cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x+h) }{h} }} \\[6pt] &= \lim_{h \to 0} \dfrac{ u(x+h) \cdot \color{red}{v(x+h)} - \color{green}{u(x)} \cdot v(x) + \color{green}{u(x)} \cdot v(x+h) - u(x) \cdot \color{red}{v(x+h)} }{h} \\[6pt] &= \lim_{h \to 0} \dfrac{ \color{red}{v(x+h)} \cdot (u(x+h) - u(x)) + \color{green}{u(x)} \cdot (v(x+h) - v(x)) }{h} \\[6pt] &= \lim_{h \to 0} \,\, \color{red}{v(x+h)} \cdot \dfrac{ (u(x+h) - u(x)) }{h} + \lim_{h \to 0} \,\, \color{green}{u(x)} \cdot \dfrac{ (v(x+h) - v(x)) }{h} \\[6pt] &= \color{red}{v(x)} \cdot u\,'(x) + \color{green}{u(x)} \cdot v\,'(x) \\[6pt] &= u\,'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v\,'(x) \end{aligned}

Quellen