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Ableitungsregeln

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Inhaltsverzeichnis: Differentialrechnung

Spezielle Ableitungen

Ableitungsregeln (6:50 Minuten)
Potenzregel, Faktorregel (4:56 Minuten)
Potenzregel, Faktorregel, Summenregel (4:08 Minuten)
Potenzregel, Faktorregel, Summenregel (3:45 Minuten)

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Einleitung

Es gibt einige Ableitungsregeln, die das Ableiten von Funktionen vereinfachen.

Konstante Funktion

Die Steigung einer konstanten Funktion ist immer null und daher ist auch ihre Ableitung null.

$$ \begin{align} f(x) &= a \\[5pt] f\,'(x) &= 0 \end{align} $$

Faktorregel

Die Ableitung von dem $ k $-fachen einer Funktion ist das $ k $-fache ihrer Ableitung.

$$ \begin{align} f(x) &= k \cdot u(x) \\[5pt] f\,'(x) &= k \cdot u\,'(x) \end{align} $$

Potenzregel

Leitet man eine Potenzfunktion ab, so wird der Exponent $ n $ vorangestellt und beim $ x $ um einen verringert.

$$ \begin{align} f(x) &= x^n \\[5pt] f\,'(x) &= n \cdot x^{n-1} \end{align} $$

Summenregel

Die Ableitung von der Summe von Funktionen ist die Summe ihrer Ableitungen.

$$ \begin{align} f(x) &= u(x) + v(x) \\[5pt] f\,'(x) &= u\,'(x) + v\,'(x) \end{align} $$

Beispiele

Hier einige Funktionen und ihre Ableitungen:

Beispiel 1

$$ f(x) = 1 \qquad f\,'(x) = 0 $$

$ f $ ist eine konstante Funktion mit $ k = 1 $. Daher ist die Ableitung null.

Beispiel 3

$$ f(x) = x = x^1 \qquad f\,'(x) = 1 \cdot x^0 = 1 $$

$ f $ ist eine Potenzfunktion mit $ n = 1 $. Daher ist kann die Ableitung mit der Potenzregel bestimmt werden.

Beispiel 5

$$ f(x) = x^3 + x^2 + 5 \qquad f\,'(x) = 3 \,\, x^2 + 2 \,\, x $$

$ f $ ist die Summe von zwei Potenzfunktionen und einer konstanten Funktion. Die Funktionen werden nacheinander abgeleitet und dann addiert. Die ersten beiden Ableitungen können über die Potenzregel gemacht werden. Die konstante Funktion fällt weg, da ihre Ableitung null ist.