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Übungsaufgabe: Ungleichung
Dies ist eine Aufgabe zum Thema Vollständige Induktion.
Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen \( n \geq 1 \) gilt:
$$ 2^{n+1} \lt 1 + (n+1) \cdot 2^n \qquad (\ast) $$Benutzen Sie vollständige Induktion.
Lösung
Induktionsanfang: \( n = 1 \)
$$ 2^{1+1} = 2^2 = 4 \lt 5 = 1 + 2 \cdot 2 = 1 + (1+1) \cdot 2^1 $$Induktionsannahme: \( (\ast) \) gilt bis zu einem gewissen \( n \in \mathbb{N} \)
Induktionsschlusss: \( n = n+1 \)
\begin{aligned} 2^{n+1+1} &= 2^{n+1} \cdot 2 \\[4pt] &\lt (1 + (n+1) \cdot 2^n) \cdot 2 \\[4pt] &= 2 + (n+1) \cdot 2^{n+1} \\[4pt] &= 1 + 1 + (n+1) \cdot 2^{n+1} \\[4pt] &\lt 2^{n+1} + 1 + (n+1) \cdot 2^{n+1} \\[4pt] &= 1 + (n+1+1) \cdot 2^{n+1} \\[4pt] \end{aligned}